Este texto es un fragmento de

Cartas a los príncipes y princesas del siglo XXI

David Perezagua y Guillermo Peñas

Este artículo tiene origen en un aula de 3º de la E.S.O, pero su autor no estaba de alumno, sino de profesor en prácticas. Eva, la profesora titular, estaba impartiendo la clase con una temática muy especial: simetrías y teselados. Esa idea se quedó dando vueltas en la cabeza de David. Tiempo después, este artículo vio la luz.



¿Son todas las baldosas iguales?


Imagina que quisieras rellenar un suelo o una pared de azulejos sin dejar huecos  ¿Qué formas podrían tener estos?¿Cuadrada?¿Pentagonal?¿Valdría cualquier figura plana?¿Podrían ser círculos? En este artículo intentaremos dar respuesta a estas preguntas. Prepara tu atención, abre bien los ojos y...¡a disfrutar!

Comencemos dejando claro lo que queremos conocer. Nuestro objetivo es hallar qué posibles figuras, o combinaciones de ellas, repetidas nos sirven para rellenar un plano sin dejar ningún hueco. El conjunto de las que lo hacen reciben el nombre de teselaciones.

Para terminar de comprender lo que es una teselación y qué no, usemos un ejemplo. Imagina que quieres rellenar el plano usando cuadrados, todos ellos iguales. Pondrías uno, luego otros 4 (uno en cada lado) y seguirías poco a poco... en ningún momento quedaría ningún hueco, piénsalo. Sin embargo: ¿qué pasaría si usas pentágonos regulares? (importante lo de regulares). La siguiente figura te lo muestra: quedan huecos. Los cuadrados podrían formar un teselado y los pentágonos no.

Tras entender bien de lo que estamos hablando dejemos claro una cosa: existen infinitas formas de teselar el plano, osea, infinitas figuras que, repetidas, no dejan ningún hueco. Basta con que pienses en que los rectángulos son una de estas figuras y podrías coger cualquier rectángulo de los infinitos distintos que hay (de lados 1 y 2, 1 y 3, 1 y 4, 2 y 7...) y repetirlo  ocupando todo el espacio. Podrías hacer lo mismo con los triángulos. De hecho, ¡hasta existen pentágonos no regulares (por eso era importante antes) que teselan el plano! 

Vale, entonces hay infinitas figuras que permiten rellenar el plano sin dejar huecos. La clave de esta infinidad son las teselaciones irregulares las cuales están formadas por polígonos no regulares (sus lados no miden lo mismo) y, claro, de este tipo, hay infinitos, como está explicado en el párrafo anterior. Pero no sólo existen teselaciones irregulares.

Se define una teselación regular como aquella en la que sólo se usa una única figura plana regular (sus lados miden lo mismo) que se repite. Podrían ser triángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos... regulares eso sí.  ¿Eres capaz de decir cuáles sirven para teselar el plano y cuáles no? La respuesta es que, de todas las figuras regulares posibles, sólo los triángulos, los cuadrados y los hexágonos sirven para completar el plano sin dejar huecos.

La clave es que la suma de los ángulos que se unen en cada vértice es 360º, piénsalo un poco tu mismo, si te apetece, apoyándote de la primera figura del artículo. El último tipo de teselaciones que entran en esta clasificación son las semi-regulares, las cuales están formadas por figuras regulares pero admiten que se usen distintas figuras, no sólo una como en las regulares.



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Un libro para dar respuesta a las grandes preguntas y tener las herramientas para cuestionarnos las más pequeñas

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